Poměr

Příklad 1.

K daným poměrům určete poměry opačné

2 : 5 → 5 : 2

3 : 6 → 6 : 3

3 : 7 → 7 : 3

1,2 : 2,4 →2,4 : 1,2

1,5 : 3,5 → 3,5 : 1,5

2,3 : 7 → 7 : 2,3

6/4 : 14/4 → 14/4 : 6/4

4 : 10 → 10 : 4

0,1 : 0,2 → 0,2 : 0,1

4 : 9 → 9 : 4

1 : 7/3 → 7/3 : 1

8 : 18 → 18 : 8

 

Příklad 2.   

Určete dvě dvojciferná čísla tak, aby byla v poměru 2 : 9 a jejich rozdíl byl 56

menší číslo ……….2x

větší číslo …………9x

9x – 2x = 56

7x =56 →  x= 8         2 . 8 = 16

                          9 . 8 = 72

Hledaná  čísla jsou 16 a 72.

 

Příklad 3.  

Určete dvě dvojciferná čísla tak, aby byla v poměru 3 : 8 a jejich rozdíl byl 20

menší číslo ……….3x

větší číslo …………8x

8x – 3x = 20

x = 4    →           3 . 4 = 12

                   8 . 4 = 32

Hledaná  čísla jsou 12 a 32.

 

Příklad 4.  

Ve třídě je 32 chlapců a 12 dívek, určete:

Jaký je poměr počtu dívek k počtu chlapců?

12 : 32 = 3 : 8 

Jaký je poměr počtu chlapců k počtu dívek?

32 : 12 = 8 : 3

 

Příklad 5.

Rozměry negativu jsou 36 mm a 24 mm. Jaký je poměr zvětšení, jestliže rozměry fotografie jsou 9 cm a 13,5 cm?

36 : 24 = 3 : 2

9 : 13,5 = 90 : 1235 → 3,75 : 1 = 15 : 4

Poměr zvětšení je 15 : 4

 

Příklad 6.

Robert s Kamilem se zúčastnili chmelové brigády. Robert načesal za osmihodinovou směnu 2 360 chmelových rév a Kamil za hodinu pouze 236. V jakém poměru jsou výkony obou brigádníků?

236 . 8 = 1 888

2 360 : 1888 = 5 : 4 

Výkony brigádníků jsou v poměru 5 : 4

 

Příklad 7.

Dělník očistil za 3 hodiny 216 kovových odlitků. Po platovém zvýhodnění očistil za 5 hodin 420 odlitků. V jakém poměru zvýšil svou výkonnost?  Kolik odlitků očistí za osm hodin práce po zvýšení výkonnosti?

216 : 3 = 72

420 : 5 = 84 

84 : 72 = 7 : 6 

8 . 84 = 672

Poměr výkonností je 7 : 6. Za 8 hodin očistí 672 odlitků.

 

Příklad 8.

Dělník očistil za 3 hodiny 216 kovových odlitků. Jak by musel zvýšit svou původní výkonnost, jestliže by chtěl za sedm hodin práce očistit 756 odlitků?

216 : 3 = 72

756 : 7 = 108 

108 : 72 = 3 : 2 

Dělník by musel zvýšit výkonnost v poměru 3 : 2.

 

Příklad 9.

Paseka měla být osázena 387 keři mladých smrčků. sazenic však bylo o 43 méně. Vyjádřete co nejmenšími přirozenými čísly poměr skutečně vysázených keřů k původně plánované výsadbě.

387 – 43 = 344

387 = 3 . 3 . 43

344 = 2 . 2 . 2 . 43 

D (387; 344) = 43 

387 : 43 = 9

344 : 43 = 8

Hledaný poměr je 8 : 9

 

Krácení a rozšiřování poměru

Příklad 1.

Vypište poměry, které se sobě rovnají:

2 : 3;   3 : 6;   3 : 7;   1,2 : 2,4;   1,5 : 3,5;   2,8 : 7;   6/4 :14/4;   4 : 10;

0,1 : 0,2;   4 : 5;   1 : 7/3;   8 : 18

Některé poměry upravíme

1,2 : 2,4 =   12 : 24 = 1 : 2 

1,5 : 3,5 =   15 : 35 = 3 : 7 

2,8 : 7    =   28 : 70 = 2 : 5

6/4 : 14/4 = 24 : 56 = 3 : 7 

0,1 : 0,2 = 1: 2 

1 : 7/3 = 3 : 7

4 : 10 = 2 : 5 

8 : 18 = 4 : 5 

Proto platí: 

2 : 5 = 2,8 : 7 = 4 : 10

3 : 6 = 1,2 : 2,4 = 0,1 : 0,2

3 : 7 = 1,5 : 3,5 = 6/4 : 14/4 = 1 : 7/3 

Příklad 2.  

Určete dvojici libovolných desetinných čísel tak, aby byla v   poměru 3 : 5

3 : 5 = 9 : 15 = 0,9 : 1,5

Příklad 3.  

Určete dvojici libovolných záporných reálných čísel tak, aby byla v poměru 3 : 5

3 : 5 = -6 : -10

Příklad 4.

Určete dvojici libovolných zlomků tak, aby byla v poměru 3 : 5

  

Ověř, zda se následující poměry sobě rovnají nebo nerovnají

Příklad 5.

1 : 3 = 2 : 7

1 : 3 = 2 : 6 ≠ 2 : 7 → 1 : 3 ≠ 2 : 7

Příklad 6.

6 : 7 = 3 : 3,5

6 : 7 = 3 : 3,5

Příklad 7.  

9 : 4 = 32 : 22

9 : 4 = 32 : 22

Příklad 8. 

7 : 11 = 14 : 33/3

Příklad 9. 

5 : 4 = 5/3 : 4/4

Příklad 10.  

1 : 2 = 4/4 : 4/2

Příklad 11.  

Určete dvě libovolná trojciferná čísla m, n , aby byla v poměru 5 : 7 a platilo 200 ≤ m,  n ≤ 300.

5 : 7 = 40 . 5  :  40 . 7 = 200 :  280

5 : 7 = 41 . 5  :  41 . 7 = 205  : 287 

Hledaná dvojice je např. 200 : 280.

Příklad 12.  

Suchá houba na mytí školní tabule má hmotnost 162 gramy, namočená 648 gramů. Vyjádřete co nejmenšími přirozenými čísly poměr hmotností suché a mokré houby.

162 : 648 

162 = 2 . 3 . 3 . 3 . 3

648 = 2 . 3 . 3 . 3 . 3 . 2 . 2

D(162; 648 ) = 2 . 34 = 162 

162 : 648 = 1 : 4

Poměr suché a mokré houby je 1 : 4

Dané poměry vyjádřete v nejjednodušším tvaru pomocí celých čísel

Příklad 13.

6 : 15 = 2 : 5

Příklad 14.  

44 : 8 = 11 : 2

Příklad 15.  

0,1 : 1 = 1 : 10

Příklad 16. 

4,2 : 9,8 = 42 : 98 = 3 : 7

Příklad 17. 

9 : 12 = 3 : 4

Příklad 18.  

30 : 80 = 3 : 8

Příklad 19.  

12 : 2 = 6 : 1

Příklad 20.  

3 : 4,5 = 30 : 45 = 2 : 3

Příklad 21.  

8 : 18 = 4 : 9

Příklad 22.  

15 : 35 = 3 : 7

Najděte neznámý člen v poměru

Příklad 23.

15 : x = 3 : 1

x = 5

Příklad 24.  

x : 4 = 2,5 : 1

x = 10

Příklad 25.  

300 : x = 1 : 50

x = 1500

Příklad 26. 

x : 9 = 2

x : 9 = 2 : 1

x = 18

Příklad 27.

2 : x = 6

2 : x = 6 : 1

x = 1/3

 

 

Trojčlenka

Příklad 1.

Ze sadu o výměře 3,5 hektaru se získá 9,1 tuny jablek. Jak velký by musel být sad, aby se sklidilo 19,5 tuny jablek?

 

9,1 t……………….... 3,5 ha

 

19,5 t ………………… x (ha)

Potřebná výměra sadu je 7,5 ha.

Příklad 2.  

Ze 100 kg ječmene se připraví 69 kg pivního sladu. Na přípravu jednoho 4 hl sudu piva je potřeba 86,25 kg sladu. Kolik sudů piva se připraví z 431,25 kg sladu?

 

86,25 kg……….........…4 hl

 

431,25 kg ………… … x (hl)

 

20 : 4 = 5

Z daného množství sladu se připraví 5 sudů piva. 

Příklad 3.  

Jednu zakázku zvládnou čtyři stroje za 324 hodiny. Za jakou dobu by tutéž zakázku zvládlo 6 strojů?

 

4 stroje……………….... 324 h

 

6 strojů …………………... x (h)

x = 216 h

6 strojů splní zakázku za 216 hodin.

Příklad 4.

Orba 5 traktory trvá sedm dní. Kolik traktorů musí na orbě pracovat, aby byla skončena o dva dny dříve?

 

7 dní………………........ 5 tr.

 

5 dní …………………... x (tr.)

x = 7

Za 5 dní provede orbu 7 traktorů.

Příklad 5.

Šest studentů uklidilo v minulém školním roce tělocvičnu za šest hodin. Kolik studentů bude třeba na úklid letos, má-li být uklizena za 7 200 s?

7 200 s = 120 min = 2 h

 

6 studentů………………........ 6 h

 

x studentů …………………... 2 h

x = 18

Je třeba 18 studentů.

Příklad 6.

Osm zaměstnanců splní zakázku za 85 hodin. Po 21 hodinách museli tři zaměstnanci odejít na jinou práci. Za kolik dalších hodin bude zakázka splněna?

85 – 21 = 64 h

 

8 zam ………………........ 64 h

 

5 zam …………………...  x (h)

 

x = 102,4 h

Zakázka bude dokončena za 102,4 hodiny.

Příklad 7.

Bazén by se napustil třemi stejnými přívody za 52 hodin. Po 20 hodinách byly přidány ještě další dva přívody. Za kolik hodin se bazén napustí?

52 – 20 = 32 hodin

 

3 přívody ………………......32 h

 

5 přívodů …………………...  x (h)

x = 19,2 h

19,2 + 20 = 39,2 h

Bazén se naplní za 39,2 hodiny.

Příklad 8.

Z jednoho kilogramu lněného semínka se získá 25 % oleje. Z kolika kg semínek se získá 1,5 kg oleje?

25 % z 1 kg ….0,25 kg

 

1 kg ………………..........0,25 kg

 

x (kg) …………………...  1,5 kg

x = 6 kg

Pro 1,5 kg oleje potřebujeme 6 kg lněných semínek.

Příklad 9.

Za 4 kg papíru dostaneme ve sběrně 2 Kč. Kolik kilogramů musíme nasbírat , abychom si mohli koupit automobil za 235 000 Kč

 

4 kg ……………….......... 2 Kč

 

x (kg) ……………  235 000 Kč

x = 470 000 kg = 470 tun

Auto si můžeme pořídit, jestliže nasbíráme 470 tun papíru.

Příklad 10.

Dvanáct kopáčů provede zemní práce za 15 dní. Za jak dlouho by provedlo tyto zemní práce 9 kopáčů?

 

12 kopáčů…………….......... 15 dní

 

9 kopáčů ………............……  x dní

x = 20 dní

Devět kopáčů tuto práci vykoná za 20 dní.

 

Zpět na příklady z matematiky